做一些 Linear Algebra 的题。

主要来源是 Linear Algebra Done Right (Third Edition) 的习题，以及 MIT 18.700 Linear Algebra 的一些作业题。

虽然但是，怎么都没答案呀。😢

寒假找点事干。

没答案只能瞎做，不保证正确性（）

告诉你 $n$，要你猜一个长度为 $n$ 的正整数序列 $\left\{a_i\right\}$，$a_i$ 两两不同，且存在 $0\le l\le 2\times 10^5-n$ 使得 $a_i\in\left(l,l+n\right]$。

每次你可以向交互库询问 ? x y（$x\neq y$），交互库向你返回 $\mathrm{lcm}(a_x,a_y)$。询问次数为 $n+5000$，其中 $3\le n\le 10^5$。

有 $T\,(1\le T\le 10^3)$ 组数据，每组给一个长度为 $k\,(1\le k\le 50)$ 的十进制正整数 $n$，其中 $n$ 在十进制下不存在 $0$（同样不存在前导 $0$），让你求一个整数 $m$，使得 $m$ 在十进制下为 $n$ 在十进制下的子序列，且 $m$ 为非素数（$1$ 也是非素数）。子序列不要求连续。

有 $n\,(2\le n\le 4\cdot 10^6)$ 个节点，编号 $1\sim n$，你一开始在节点 $n$，想要到节点 $1$。假设你现在在节点 $x$，你可以进行以下两种操作：

1. 选择一个正整数 $y\in \left[1, x - 1\right]$，并移动到节点 $x-y$。
2. 选择一个正整数 $z\in \left[2, x\right]$，并移动到节点 $\left\lfloor\frac{x}{z}\right\rfloor$。

求有多少种方案到达节点 $1$，只要有一次选择的 $x$ 或 $z$ 不同就算方案不同。答案对 $m$ 取模，其中 $m\in \left(10^8, 10^9\right)$ 且 $m$ 是素数。

高考数学挂了

圆锥曲线最后几步了忘了开根 qaq

这里订正一下

给定一个长度为$n$的字符串，其中只有 '(', ')', '?' 三种字符，其中 '?' 可以为 '(' 或者 ')'。对于一个括号序列，定义其权值为其通过删除字符后可以得到的合法的括号匹配的最深的深度，求出所有可能的括号序列（即问号替换后）的权值和。

在 D1 中，$n\le 2000$；在 D2 中，$n\le 10^6$。

一道有趣的题。

原题链接

$n(n\le 10^5)$个球排成一排，第$i$个球有颜色$c_i(c_i\le n)$和重量$w_i(w_i\le 10^9)$。 Snuke每次可以选择两个颜色相同，且重量之和不超过$x$的球，交换他们的位置。 Snuke每次可以选择两个颜色不同，且重量之和不超过$y$的球，交换他们的位置。 问可以得到多少种不同的颜色序列。$1\le x,y\le 10^9$，答案对$10^9+7$取模。^[1]

给下一届出题，自然是出得水一点比较好咯～