一个有趣的问题

pufanyi

随笔

发布于：Feb 6, 2019

把正整数 $n$ 分解成几个正整数的和，是它们的乘积最大。

以下纯口胡，如果有问题求在下面留言。

根据均值不等式（证明在最下面）：

$$\prod_{i=1}^n x_i\le \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\right)^n$$

先不考虑整数的限制，我们应将一个数均匀地分成 $k$ 份，每个数为$x$，那么有：

$$n=kx$$

另乘积为$y$，有：

$$y=x^k=x^{\frac{n}{x}}=(x^{\frac{1}{x}})^n$$

于是问题就变成了求 $y=x^{\frac{1}{x}}​$ 在$x>0​$上的极值。

两边同取对数：

$$\ln y = \frac{1}{x}\ln x$$

两边同时关于 $x$ 求导：

$$\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x^2}\ln x+\frac{1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

右边应该没问题，那左边为什么不是 $\frac{1}{y}​$ 呢？

因为 $y$ 是个因变量，其导数不一定就是 $1$，即$x$ 增加 $\mathrm{d}x$，$y$ 不一定增加$\mathrm{d}x$。

但我们有：

$$f[g(x)]=f'(x)g'(x)$$

于是：

$$y'=\frac{1-\ln x}{x^2}y=\frac{1-\ln x}{x^2}x^{\frac{1}{x}}$$

当 $y'=0$ 时：

$$\frac{1-\ln x}{x^2}x^{\frac{1}{x}}=0$$

由于$x>0$：

$$1-\ln x=0$$

即：

$$x=e$$

但 $e$ 不是整数，由于$\lfloor e\rfloor=2,\lceil e\rceil=3$，且

$$2^{\frac{1}{2}}\approx1.4142135623730950488016887242097\\ 3^{\frac{1}{3}}\approx1.4422495703074083823216383107801$$

所以

$$2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}$$

因此应该尽量取$3$，多出来的取$2$。

下面给出均值不等式的一种证法：

有一种叫“反向归纳法”的东西，它是从 $n$ 到$n-1$来证明命题。

我们令原命题为$P(n)​$。

首先，$n=2​$时显然为真：

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$

然后证明 $P(n)$ 和$P(2)$蕴涵着$P(2n)$：

因为：

$$\prod_{i=1}^n x_i\le \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\right)^n\\ \prod_{i=n+1}^{2n} x_i\le \left(\frac{\sum_{i=n+1}^{2n}x_i}{n}\right)^n$$

两式相乘：

$$\prod_{i=1}^{2n} x_i\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\right)^n\times\left(\frac{\sum_{i=n+1}^{2n}x_i}{n}\right)^n\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{2n}x_i}{2n}\right)^{2n}$$

最后证明 $P(n)$ 蕴涵着$P(n-1)$：

令 $x_n=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}​$ 即$x_n​$为前 $n-1​$ 项的平均值，我们发现这 $n​$ 项的平均值为前 $n-1​$ 项的平均值，即：

$$\prod_{i=1}^{n-1} x_i\times\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\right)^n$$

两边同除$\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}$：

$$\prod_{i=1}^{n-1} x_i \le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\right)^{n-1}$$

更新于：Jul 2, 2023

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