高考数学挂了
圆锥曲线最后几步了忘了开根 qaq
这里订正一下
如图，已知 F 是抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且 ∣MF∣=2
（1）求抛物线的方程；
解：p=2⇒y2=4x
（2）设过点 F 的直线交抛物线与 A､B 两点，斜率为 2 的直线 l 与直线 MA,MB,AB，x 轴依次交于点 P，Q，R，N，且 ∣RN∣2=∣PN∣⋅∣QN∣，求直线 l 在 x 轴上截距的范围。
解：
设 A(a2,2a), B(b2,2b)。有 AB:(a+b)y=2x+2ab。
将 F(1,0) 代入得：ab=−1，即 AB:(a+b)y=2x−2。
设 l:x=21y+t，代入 AB，有：yR=a+b−12t−2。
考虑到 M(−1,0)，于是 MA:x−a2y−2a=a2+12a。
MA 与 l 联立：yP=a2−a+12a(t+1)。同理 yQ=b2−b+12b(t+1)。
又 ∣PN∣⋅∣QN∣=∣RN∣2⇒yR2=−yPyQ。
考虑到 −yPyQ=−(a2−a+1)(b2−b+1)4ab(t+1)2=a2+b2+14(t+1)2，yR2=a2+b2−2a−2b−14(t−1)2。
当 t=±1 时：
我们有：∣PN∣⋅∣QN∣=∣RN∣2⇒(t+1t−1)2=a2+b2+1a2+b2−2a−2b−1。
令 s=a+b，则 s=a−a1∈R，a2+b2=s2−2ab=s2+2。
那么我们有 (t+1t−1)2=s2+3(s−1)2
取 r=s2+3(s−1)2，我们有 (r−1)s2+2s+(3r−1)=0，Δ=4−4(r−1)(3r−1)≥0。
于是 r∈[0,34]，也即 t+1t−1∈[−34,34]，故 t≤−43−7 或 t≥43−7 且 t=1。
当 t=±1 时：
∣RN∣2=0，但 ∣PN∣⋅∣QN∣ 不可能为 0，故不成立。
综上，t∈(−∞,−43−7]∪[43−7,1)∪(1,+∞)。
